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(1) puoi usare la dimostrazione che avevo fatto per l’accelerazione normale, con il triangolo isoscele che ha gli angoli alla base che tendono a pi/2 quando l’intervallo di tempo va a zero. E’ esattamente lo stesso ragionamento anche per i versori, quindi vale la stessa dimostrazione;
(2) non sono sicuro di avere capito bene la tua domanda, comunque le due scomposizioni (intrinseca e polare) dell’accelerazione danno, in generale e necessariamente, componenti differenti (tangente e normale la prima, radiale e trasversale la seconda). Però il vettore accelerazione è sempre quello per cui le somme vettoriali dei due componenti devono sempre dare lo stesso risultato a prescindere dalla scomposizione adottata. Ovviamente i componenti nelle due rappresentazioni hanno significato fisico differente ma sono “solo” scomposizioni differenti;
(3) beh, nel caso dell’accelerazione radiale il significato è proprio quello di descrivere due effetti in questa direzione, se ci sono: il primo è r doppio punto che racconta eventuali variazioni della velocità nella direzione radiale (e questo è un contributo radiale all’accelerazione), il secondo è (meno) erre theta punto al quadrato che è dovuto alla percorrenza in senso non radiale della traiettoria (se c’è): insomma, se il punto ruota ha accelerazione “centripeta” e dunque questo è un altro contributo all’accelerazione radiale; nel caso trasversale il termine r theta doppio punto è “naturale”, nel senso che spiega eventuali accelerazioni di origine angolare (ci sono se cambia la velocità angolare, come abbiamo visto anche in altri esempi) mentre il termine 2 x erre punto x theta punto c’è perché … sì. Nel senso che la struttura matematica della scomposizione polare ne richiede l’esistenza formale. Fisicamente racconta un’accelerazione trasversale se e solo se il punto sta contemporaneamente cambiando la sua posizione radiale (distanza dal centro) ma anche ruotando attorno al centro stesso. Il termine deriva, come dicevo a lezione e come è commentato nella lavagnata, dalle due variazioni temporali sia di v_r che di v_theta.

Spero di avere chiarito un po’ e risposto alle tue domande!

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Se una forza è costante allora è conservativa (e il lavoro non dipende dal cammino). Se una forza è conservativa NON è detto che sia constante e comunque il lavoro non dipende dal cammino.

La definizione è quella che ho dato a lezione e riportato sulle lavagnate: una forza è conservativa quando il lavoro non dipende dal cammino. Se poi, come caso particolare, la forza dovesse essere costante, allora abbiamo dimostrato che è conservativa. E dunque, ancora, il lavoro non dipende dal cammino.

Ma ci sono forze NON costanti che sono conservative. Per le quali il lavoro NON dipende dal cammino.

Quindi: NON OCCORRE che la forza debba essere costante perché il lavoro non dipenda dal cammino. DEVE ESSERE CONSERVATIVA e basta.

Pensa bene e riguarda gli esempi che abbiamo fatto. Domani ne aggiungiamo altri.

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ti sei risposto da solo, in realtà: ha senso, certo, scrivere d/dv0 SE la variabile è v0. Ma v0 nel tuo esempio non è una variabile, è un numero. Quindi in effetti non ha senso la scrittura che proponi. Invece, nel caso delle derivate parziali, SIA x CHE y sono variabili e dunque è ESSENZIALE specificare rispetto quale delle due stiamo derivando, perché entrambe possono cambiare. La notazione della derivata parziale serve proprio a evidenziare questa cosa. Comunque non ne fate una questione di massima importanza in questo momento: avrete modo di sbizzarrirvi nei corsi di analisi N con N>1. Per ora vi basti sapere che per ottenere Fx dovete derivare PARZIALMENTE V(x,y,z) rispetto solo x e così via.

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